Question

【題目】如圖，已知點D，E是半圓O上的三等分點，C是弧DE上的一個動點，連結AC和BC，點I是△ABC的內心，若⊙O的半徑為3，當點C從點D運動到點E時，點I隨之運動形成的路徑長是_____．

Answer 1

【答案】π．

【解析】

連接AI,BI,作OT⊥AB交⊙O 于T,連接AT,TB,以T為圓心,TA為半徑作⊙T, 在優弧AB上取一點G,連接AG,BG．證明∠AIB+∠G=180°,推出A,I,B,G四點共圓,

如圖，連接AI，BI，作OT⊥AB交⊙O 于T，連接AT，TB，以T為圓心，TA為半徑作⊙T，在優弧AB上取一點G，連接AG，BG．推出點I的運動軌跡是即可解決問題．

∵AB是直徑,

∴∠ACB＝90°,

∵I是△ABC的內心,

∴∠AIB＝135°,

∵OT⊥AB,OA＝OB,

∴TA＝TB,∠ATB＝90°,

∴∠AGB＝∠ATB＝45°,

∴∠AIB+∠G＝180°,

∴A，I，B，G四點共圓,

∴點I的運動軌跡是,

由題意 ,

∴∠MTM＝30°,易知TA＝TM＝3,

∴點I隨之運動形成的路徑長是,

故答案為．