Question

已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．且點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE的長為x，試用含x的代數式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：3兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由．
解：

Answer 1

分析：（1）先作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根據等腰梯形的性質，可得BK=

1

2

（BC-AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直線故平行，可得比例線段，求出FG=

4(12-x)

5

，利用面積公式可得S_△BEF=-

2

5

x²+

24

5

x（7≤x≤10，因為BF最大取5，故BE最小取7，又不能超過10）；
（2）根據題意，結合（1）中面積的表達式，可以得到

1

2

S_梯形ABCD=-

2

5

x²+

24

5

x，即14=-

2

5

x²+

24

5

x，解得，x₁=7，x₂=5（不合題意，舍去）；
（3）仍然按照（1）和（2）的步驟和方法去做就可以了，注意不是分成相等的兩份，而是1：3就可以了，得到關于x的一元二次方程，先求出根的判別式△，由于△＜0，故不存在實數根．

解答：解：（1）由已知條件得：
梯形周長為24，高4，面積為28．
過點F作FG⊥BC于G，

∴BK=

1

2

（BC-AD）=

1

2

×（10-4）=3，
∴AK=

AB2-BK2

=4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，
∴BF=12-x，
過點A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴

FG

AK

=

BF

BA

，
即：

FG

4

=

12-x

5

，
則可得：FG=

12-x

5

×4
∴S_△BEF=

1

2

BE•FG=-

2

5

x²+

24

5

x（7≤x≤10）；（3分）

（2）存在（1分）
由（1）得：-

2

5

x²+

24

5

x=14，
x²-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x₁=7，x₂=5（不合題意舍去）
∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE=7；

（3）不存在（1分）
假設存在，顯然是：S_△BEF：S_AFECD=1：3，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：3（1分），
梯形ABCD周長的四分之一為6，面積的四分之一為7．因為BE=x，
所以BF=（6-x），FG=

(6-x)×4

5

，
所以△BEF的面積為

(6-x)×4•x

5

×

1

2

=7，
整理得：-2x²+12x-35=0，
△=144-280＜0
∴不存在這樣的實數x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：3的兩部分．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，根的判別式以及等腰梯形的性質，綜合運用了等腰梯形的性質、垂直于同一直線的兩直線平行，勾股定理，三角形、梯形面積公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判別式等知識．