Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）求證：△ABC是直角三角形；

（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）△ABC是直角三角形；（3）（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；

（2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結論；

（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得或，可求得N點的坐標．

解：（1）∵頂點坐標為（1，1），

∴設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，

又拋物線過原點，

∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，

即y=﹣x2+2x，

聯立拋物線和直線解析式可得，解得或，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，

則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，

∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），

∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，

由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=，BC=3，

∵MN⊥x軸于點N

∴∠ABC=∠MNO=90°，

∴當△ABC和△MNO相似時有或，

①當時，則有=，即|x||﹣x+2|=|x|，

∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，

∴x≠0，

∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，

此時N點坐標為（，0）或（，0）；

②當時，則有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，

此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

“點睛”本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質及分類討論等．在（1）中注意頂點式的運用，在（3）中設出N、M的坐標，利用相似三角形的性質得到關于坐標的方程是解題的關鍵，注意相似三角形點的對應．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．