Question

【題目】如圖，△ABC 中，AB=AC， ∠BAC ＜60°，將線段 AB 繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到點(diǎn) D， 點(diǎn) E 與點(diǎn) D 關(guān)于直線 BC 對(duì)稱，連接 CD，CE，DE．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）判斷△CDE 的形狀，并證明；

（3）請(qǐng)問在直線CE上是否存在點(diǎn) P，使得 PA - PB =CD 成立？若存在，請(qǐng)用文字描述出點(diǎn) P 的準(zhǔn)確位置，并畫圖證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）是等邊三角形，證明見詳解；（3）存在，點(diǎn)P在點(diǎn)C左邊距離為CE長(zhǎng)的位置，證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）連接BD、CE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及對(duì)稱的性質(zhì)利用SAS可證，易得，可知是等邊三角形；

（3）將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，延長(zhǎng)交直線CE于點(diǎn)P，連接BP，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及已知條件即可確定點(diǎn)P的位置.

解：（1）如圖即為所求，

（2）是等邊三角形.

如圖，連接BD、CE，

由點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于直線BC對(duì)稱可知BF垂直平分DE，

由旋轉(zhuǎn)可知，

為等邊三角形

在和中，

是等邊三角形；

（3）存在，

如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，延長(zhǎng)交直線CE于點(diǎn)P，連接BP，

由（2）得是等邊三角形，

由旋轉(zhuǎn)可得，

所以直線CE上存在點(diǎn) P，使得 PA - PB =CD 成立，點(diǎn)P在點(diǎn)C左邊距離為CE長(zhǎng)的位置.