Question

（2013年四川資陽9分）如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與雙曲線（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點．

（1）若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？
（2）假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．

Answer 1

解：（1）①把D（4，1）代入得a=1×4=4，
∴反比例函數解析式為（x＞0）。
設直線l的解析式為y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得，解得。
∴直線l的解析式為y=﹣x+5。
②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=﹣x+5﹣m，
當方程組只有一組解時，直線l與雙曲線有且只有一個交點，
化為關于x的方程得x²+（5﹣m）x+4=0，
△=（m﹣5）²﹣4×4=0，解得m₁=1，m₂=9。
而m=9時，解得x=﹣2，故舍去。
∴當m=1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點。
（2）如圖，作DF⊥x軸于點F，

∵點D為線段AB的n等分點，∴DA：AB=1：n。
∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO。
∴，即。
∴。∴OF=。
∴D點坐標為（，）。
把D（，）代入得（）•=a，解得。

解析