Question

請把下列每對數在數軸上所對應的兩點的距離寫在橫線上：
（1）①3與2

1

；  3與-2

5

；
③-4與-4

1

2

1

2

；  ④-3

1

2

與2

1

2

6

；
你能發現求出距離與這兩個數的差有什么關系嗎？如果有一對數為a，b，則a，b兩數所對應的兩
點之間的距離可表示為

a-b

．
（2）如圖所示，點A、B所代表的數分別為1，-2，在數軸上畫出與A、B兩點的距離之和為5的點（并表上相應的字母）
（3）由以上探索解答下列問題：
①當|x+1|+|x-2|=7時，x=

4或-4

； 
②|x-3|+|x-4|+|x-5|的和的最小值=

2

③求|x-1|+|x-2|+|x-3|…|x-21|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用數軸分別得出，進而得出a，b兩數所對應的兩點之間的距離；
（2）根據點A、B所代表的數分別為1，-2，在數軸上畫出與A、B兩點的距離之和為5的點，結合數軸得出即可；
（3）①利用x的取值范圍分析得出即可；
②利用x=4時，求出原式的最值即可；
③可以用數形結合來解題：x為數軸上的一點，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-21|表示：點x到數軸上的21個點（1、2、3、…、21）的距離之和，由于原式的絕對值共有21項，最中間的那一項是|x-11|，所以只需取x=11，它們的和就可以獲得最小值．

解答：解：（1）①1；②5；③

1

2

；④6；
a，b兩數所對應的兩點之間的距離可表示為a-b；

（2）C、D是與A、B兩點的距離之和為5的點
；

（3）①當x≥-1時，|x+1|+|x-2|=7為x+1+x-2=7，解得：x=4，
當x＜-1時，|x+1|+|x-2|=7為-x-1-x+2=7，解得：x=-3，
故答案為：4或-3；
②當|x-3|+|x-4|+|x-5|的和最小，則x=4，
∴原式=1+0+1=2；
故答案為：2；
③當x=11時，|x-1|+|x-2|+|x-3|…|x-21|=10+9+8+7+…+9+10=10×11=110．

點評：此題主要考查了絕對值的性質以及利用數形結合求最值問題，利用已知得出x=11時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-21|能夠取到最小值是解題關鍵．