Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，直線l經過⊙O上一點C，過點A作AD⊥l于點D，交⊙O于點E，AC平分∠DAB．

（1）求證：直線l是⊙O的切線；

（2）若DC＝4，DE＝2，求線段AB的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AB＝10．

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質可以證明∠DAC=∠OCA；隨之利用垂直即可解答.

(2) 連接BE交CO于M,得出四邊形DEMC是矩形，利用勾股定理即可解答.

（1）證明：連接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠OAC，

又∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠DAC＝∠OCA，

又∵CD⊥AD，即∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠DCA＝90°，

∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，

∴OC⊥CD，

則CD是圓O的切線；

（2）解：連接BE交CO于M，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴四邊形DEMC是矩形，

∴OC⊥BE，

∴BM＝EM＝CD＝4，

在Rt△OMB中，BM2+OM2＝OB2，

∴42+（r﹣2）2＝r2，

∴r＝5，

∴AB＝10．