Question

【題目】某水產養殖戶進行小龍蝦養殖．已知每千克小龍蝦養殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p(元/千克)與時間第t(天)之間的函數關系為：P＝，日銷售量y(千克)與時間第t(天)之間的函數關系如圖所示：

(1)求日銷售量y與時間t的函數關系式？

(2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

(3)在實際銷售的前40天中，該養殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m(m＜7)元給村里的特困戶．在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數）；(2) 第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元;(3) 5≤m＜7.

【解析】分析：（1）根據函數圖象，利用待定系數法求解可得；

（2）設日銷售利潤為w，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據“總利潤=每千克利潤×銷售量”列出函數解析式，由二次函數的性質分別求得最值即可判斷；

（3）依據（2）中相等關系列出函數解析式，確定其對稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤隨時間t的增大而增大，結合二次函數的性質可得答案．

詳解：（1）設解析式為y=kt+b，將（1，198）、（80，40）代入，得：

，

解得：．

∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數）；

（2）設日銷售利潤為w，則w=（p﹣6）y，

①當1≤t≤40時，

w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450．

∴當t=30時，w最大=2450．

②當41≤t≤80時，

w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100．

∴當t=41時，w最大=2301．

∵2450＞2301，

∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元．

（3）設日銷售利潤為w，根據題意，得：

w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m．

其函數圖象的對稱軸為t=2m+30．

∵w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，

∴由二次函數的圖象及其性質可知：40≤2m+30．

解得：m≥5．

又m＜7，

∴5≤m＜7．