Question

【題目】如圖：矩形ABCD的頂點B、C在x軸的正半軸上，A、D在拋物線上，矩形的頂點均為動點，且矩形在拋物線與軸圍成的區(qū)域里。

（1）設(shè)A點的坐標為（， ），試求矩形周長關(guān)于變量的函數(shù)表達式；

（2）是否存在這樣的矩形，它的周長為9，試證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1） （2）不存在，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式令y=0，可求出拋物線與x軸兩交點的坐標，因為A點的坐標為（x，y），則B點坐標為（x，0），即OB=x，由拋物線的對稱性可知EC=x，則BC=4-2x，再根據(jù)矩形的面積公式可求出矩形周長p關(guān)于變量x的函數(shù)表達式；

（2）先假設(shè)符合條件的矩形存在，把9代入（1）所求的矩形周長公式，根據(jù)一元二次方程判別式的情況判斷出方程解的情況即可判斷P是否存在．

試題解析：(1)令=0

得：x1=0,x2=4.

則拋物線與坐標軸兩交點的坐標為O(0，0)、E(4，0)

設(shè)OB=x，由拋物線的對稱性可知EC=x，則BC=42x.

P=2(42x+y)=2(42x )

P=

(2)不存在。

若存在周長為9的矩形ABCD,則=9

①4x24x+3=0，△=1648<0

方程①無實數(shù)根，即不存在這樣的矩形。