Question

9．已知拋物線C：y=x²-4x．
（1）求拋物線C的開口方向、對稱軸和頂點坐標；
（2）將拋物線C向下平移，得拋物線C′，使拋物線C′的頂點落在直線y=-x-7上．
①求拋物線C′的解析式；
②拋物線C′與x軸的交點為A，B（點A在點B的左側），拋物線C′的對稱軸于x軸的交點為N，點M是線段AN上的一點，過點M作直線MF⊥x軸，交拋物線C′于點F，點F關于拋物線對稱軸的對稱點為D，點P是線段MF上一點，且MP=$\frac{1}{4}$MF，連接PD，作PE⊥PD交x軸于點E，且PE=PD，求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）把拋物線解析式化為頂點式可求得拋物線C的開口方向、對稱軸和頂點坐標；
（2）①可設平移后的拋物線解析式為y=x²-4x-m，可求得其頂點坐標，代入直線y=-x-7，可求得m的值，則可求得拋物線C′的解析式；②連接FD，由條件可證明△EPM≌△PDF，可求得PM=DF，EM=PF，設出F點坐標，則可分別表示出PM和DF的長，由條件可得到關于點F坐標的方程，可求得M、F的坐標，則可出E點坐標．

解答 解：
（1）∵y=x²-4x=（x-2）²-4，
∴拋物線開口向上，對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，-4）；
（2）①設拋物線C′的解析式為y=（x-2）²-4-m，
則拋物線C′的頂點坐標為（2，-4-m），
∵拋物線C′的頂點落在直線y=-x-7上，
∴-4-m=-2-7，解得m=5；
②如圖，連接FD，

由①可得拋物線C′的解析式為y=x²-4x-5，
令y=0可得x²-4x-5=0，解得x=-1或x=5，
∵點A在點B的左側，
∴A（-1，0），B（5，0），
∵點F關于拋物線對稱軸對稱點為D，且MF⊥x軸，
∴DF⊥MF，
∴∠EMP=∠PFD=90°，
∵PE⊥PD，
∴∠EPD+∠MPE=∠EPD+∠D=90°，
∴∠MPE=∠D，
在△EPM和△PDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠D}\\{∠EMP=∠PFD}\\{PE=PD}\end{array}\right.$
∴△EPM≌△PDF（AAS），
∴PM=DF，EM=PF，
設點F坐標為（t，t²-4t-5），
∵點M在線段AN上，
∴-1＜t＜2，
∴DF=2（2-t），PM=-$\frac{1}{4}$（t²-4t-5），
∵PM=DF，
∴2（2-t）=-$\frac{1}{4}$（t²-4t-5），解得t=1或t=11（不合題意，舍去），
∴M（1，0），F（1，-8），
∴MF=8，MP=2，
∴PF=8-2=6，
∴EM=PF=6，
∴OE=OM+ME=7，
∴E點坐標為（7，0）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、圖象的平移、全等三角形的判定和性質及方程思想等知識．在（1）中把拋物線解析式化為頂點式是解題的關鍵，在（2）①中求得平移后的拋物線的頂點坐標是解題的關鍵，在（2）②中構造全等三角形，用F點的坐標表示出PM和DF的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．