Question

證明：無論a取任何實數值時，拋物線y=x2+(a+1)x+

1

2

a+

1

4

是通過一個定點，而且這些拋物線的頂點都在一條確定的拋物線上．

Answer 1

分析：將拋物線解析式按照含a的項和不含a的項整理，令含a的項系數為0，可求此時x、y的值，即定點坐標；將拋物線解析式整理為頂點式，可確定頂點坐標，令頂點橫坐標為x，縱坐標為y，消去a，可得出x、y的關系式，判斷關系式為拋物線解析式即可．

解答：證明：y=x2+(a+1)x+

1

2

a+

1

4

=x2+x+

1

4

+a(x+

1

2

)=(x+

1

2

)2+a(x+

1

2

)，
當x=-

1

2

時，a(x+

1

2

)=0，y=0，
即無論a取任何實數時，已知拋物線總通過點M(-

1

2

，0)，
又y=x2+(a+1)x+

1

2

a+

1

4

=(x+

a+1

2

)2-

1

4

a2，
故拋物線的頂點坐標為(-

a+1

2

，-

1

4

a2)，
即

x=- a+1 2 y=- 1 4 a2

，消去a得，
y=-(x+

1

2

)2，
這條曲線是一條拋物線，即原拋物線的頂點都在一條確定的拋物線上．

點評：本題考查了拋物線上定點坐標的求法，頂點坐標的求法及頂點坐標滿足的關系式，需要靈活掌握．