Question

【題目】如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，分別過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問(wèn)：四邊形PEFM的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最值，并寫(xiě)出解答過(guò)程；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如果x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)镺A=4，AB=2，把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）；由圖可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），

又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，

得 ，解得

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；

（2）

解：四邊形PEFM的周長(zhǎng)有最大值，理由如下：

由題意，如圖所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知OE=AF，

∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，

則矩形PEFM的周長(zhǎng)L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，

∴當(dāng)a=1時(shí)，矩形PEFM的周長(zhǎng)有最大值，Lmax=10；

（3）

解：在拋物線上存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，理由如下：

∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，4），

∴知道C點(diǎn)正好是頂點(diǎn)坐標(biāo)，知道C點(diǎn)到x軸的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，

過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，與x軸沒(méi)有其它交點(diǎn)，過(guò)y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

這兩個(gè)交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+ ，x2=2﹣

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為N1（2+ ，﹣4），N2（2﹣ ，﹣4）．

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標(biāo)和A的坐標(biāo)，又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；（2）四邊形PEFM的周長(zhǎng)有最大值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長(zhǎng)L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長(zhǎng)的最大值；（3）在拋物線上存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，由（1）可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，與x軸沒(méi)有其它交點(diǎn)，過(guò)y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．