Question

【題目】已知如圖，△ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG∥BC，交AC于點G，在GD的延長線上取點E，使DE=CG，連接AE、CD．
（1）求證：△AGE≌△DAC；
（2）過E做EF∥DC．交BC于F．連接AF．判斷△AEF是怎樣的三角形．并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△AGE與△DAC中，

∵DG‖BC，△ABC是等邊三角形

∴AD=AG=DG

又∵DE=CG

∴EG=DE+DG=CG+AG=AC，

∠AGE=∠DAC=60°

在△AGE和△DAC中，

，

∴△AGE≌△DAC

（2）證明：判斷：△AEF是等邊三角形

證明：∵EF∥DC

∴∠GEF=∠GDC

又∵∠AEG=∠ACD

∴∠AEG+∠GEF=∠GCD+∠GDC=∠AGD=60°

∴∠AEF=60°

又∵DG∥BC，EF∥DC

∴四邊形CDEF是平行四邊形

∴DC=EF

又∵△AGE≌△DAC

∴AE=DC

∴AE=EF

∴△AEF是等邊三角形

【解析】（1）根據已知等邊三角形的性質可推出△ADG是等邊三角形，從而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；（2）連接AF，由已知可得四邊形EFCD是平行四邊形，從而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，從而可得到EF=AE，∠AEF=60°，所以△AEF為等邊三角形．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等邊三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．