Question

【題目】如圖，在直角三角形ABC中，直角邊，，設P、Q分別為AB，BC上的動點，點P自點A沿AB方向向點B作勻速移動且速度為每秒2cm，同時點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動且速度為每秒1cm，當P點到達B點時，Q點就停止移動.設P，Q移動的時間t秒.

（1）寫出的面積S（）與時間t（s）之間的函數表達式，并寫出t的取值范圍.

（2）當t為何值時，為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當t或或時，為等腰三角形.

【解析】

（1）過點P作PH⊥BC，垂足為H，從而得到△BPH∽△ABC，根據相似比例求出PH的長，然后表示出三角形PBQ的面積即可；

（2）需要分BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ三種情況討論三角形PBQ為等腰三角形，即最后分別求值即可.

（1）如圖1，過點P作PH⊥BC，垂足為H，

∵Rt△ABC中直角邊AC=6，BC=8

∴由勾股定理可得AB=10，

∴BP=10-2t，BQ=t.

∵AC⊥C B

∴△BPH∽△ABC，

∴ 即，解得;

∴

（2）①當BP=BQ時，10-2t=t，解得t= 秒；

②如圖2，當BQ=PQ時，作QE⊥BD，垂足為E，

∵BQ=PO，QE⊥BD，

∴

∵∠B=∠B, ∠ACB=∠QEB,

∴△BQE∽△BAC

∴，即，即得：t= 秒；

③如圖3，當BP=PQ時，作PF⊥BC，垂足為F

∵BP=PQ，PF⊥BC，

∴

∵

∴△BPF∽△BAC，

∴，即：，解得：t=秒

綜上：當或或時，為等腰三角形.