Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中點，過點F作FE⊥AD，垂足為E，將△AEF沿點A到點B的方向平移，得到△A′E′F′．

（1）求EF的長；

（2）設P，P′分別是EF，E′F′的中點，當點A′與點B重合時，求證四邊形PP′CD是平行四邊形，并求出四邊形PP′CD的面積．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）28.

【解析】

（1）首先求出AF的長度，再在直角三角形AEF中求出EF的長度；

（2）連接BD，DF，DF交PP′于H．首先證明四邊形PP′CD是平行四邊形，再證明DF⊥PP′，求出DH的長，最后根據面積公式求出答案．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝8，

∵F是AB的中點，

∴AF＝AB＝×8＝4，

∵點F作FE⊥AD，∠A＝60°，

∴∠AFE=30°，

∴AE=，

∴EF＝2；

（2）如圖，連接BD，DF，DF交PP′于H．

由題意PP′＝AA′＝AB＝CD，PP′∥AA′∥CD，

∴四邊形PP′CD是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∵AF＝FB，

∴DF⊥AB，DF⊥PP′，

在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，AF＝4，

∴AE＝2，EF＝2，

∴PE＝PF＝，

在Rt△PHF中，∵∠FPH＝30°，PF＝，

∴HF＝PF＝，

∵DF＝=4，

∴DH＝4﹣＝，

∴平行四邊形PP′CD的面積＝×8＝28．