Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于點，交直線于點．動點在直線上以每秒個單位的速度從點向終點運動，同時，動點以每秒個單位的速度從點沿的方向運動，當點到達終點時，點同時停止運動．設運動時間為秒．

（1）求點的坐標和的長．

（2）當時，線段交于點且求的值．

（3）在點的整個運動過程中，

①直接用含的代數式表示點的坐標．

②利用（2）的結論，以為直角頂點作等腰直角（點按逆時針順序排列）．當與的一邊平行時，求所有滿足條件的的值．

Answer 1

【答案】（1）（20，0），；（2）2；（3）①（，）（），②，或

【解析】

（1）聯立兩直線解析式，所求得的解即為交點橫縱坐標，再根據兩點間距離公式求點之間的距離；

（2）過點C作CF⊥OA于F，利用平行線分線段成比例，求出C點坐標，用含有a的表達式表示出D，根據可知點P為CD中點，利用中點坐標公式表示出點P坐標代入，即可求得參數a的值；

（3）分三種情況討論與的一邊平行情況，用含有t的字母表示各點坐標，根據平行線斜率相等，垂直斜率之積為﹣1建立等量關系，求解t的值．

解：（1）∵直線AB為，

∴點A（20，0），B（0，15），

∵點M為直線AB：與直線OM：的交點，

∴聯立，

解得點M坐標為：（12，6），

∴，

故答案為：A（20，0），；

（2）過點C作CF⊥OA于F，

由（1）知OA=20，OB=15，

∴

當時，，，

∵BO⊥AO，CF⊥OA，

∴，，

∴，，

∴，點C的縱坐標為：，

∴點C（8，9）， 點D（5a，0），

∵

∴點P為CD的中點，

∴點P（，），

∵點P在直線：上，

將點P（，3）代入，

∴得；

（3）①，

由（2）圖知，，，

∴，，

∴，

∴點C（，）（），

②依題意知，，

∴點D（2t，0），點C（，）

如圖，當OM平行CE時，由∠ECD=90°可知CD⊥CE，

根據互相垂直兩直線斜率之積為—1，

可得：，

解得：；

如圖，當OM∥CD時，兩直線斜率相等，

則，

解得：；

如圖，DE∥OM，過點C作CP⊥x軸于P，作CQ平行x軸，過點E作EG⊥x軸于G交CQ于Q，

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴易證△DPC≌△EQC，

∴，，

∴點E的坐標為：（，），

由兩平行直線，斜率相等得，，

解得：，

綜上所述，滿足的條件的t的值為：，或．