Question

（2012•本溪）某工廠生產(chǎn)某品牌的護眼燈，并將護眼燈按質量分成15個等級（等級越高，燈的質量越好．如：二級產(chǎn)品好于一級產(chǎn)品）．若出售這批護眼燈，一級產(chǎn)品每臺可獲利潤21元，每提高一個等級每臺可多獲利潤1元，工廠每天只能生產(chǎn)同一個等級的護眼燈，每個等級每天生產(chǎn)的臺數(shù)如下表所示：

等級（x級）	一級	二級	三級	…
生產(chǎn)量（y臺/天）	78	76	74	…

（1）已知護眼燈每天的生產(chǎn)量y（臺）是等級x（級）的一次函數(shù)，請直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式：

y=-2x+80

；
（2）若工廠將當日所生產(chǎn)的護眼燈全部售出，工廠應生產(chǎn)哪一等級的護眼燈，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）由于護眼燈每天的生產(chǎn)量y（臺）是等級x（級）的一次函數(shù)，所以可設y=kx+b，再把（1，78）、（2，76）代入，運用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）設工廠生產(chǎn)x等級的護眼燈時，獲得的利潤為w元．由于等級提高時，帶來每臺護眼燈利潤的提高，同時銷售量下降．而x等級時，每臺護眼燈的利潤為[21+1（x-1）]元，銷售量為y元，根據(jù)：利潤=每臺護眼燈的利潤×銷售量，列出w與x的函數(shù)關系式，再根據(jù)函數(shù)的性質即可求出最大利潤．

解答：解：（1）由題意，設y=kx+b．
把（1，78）、（2，76）代入，
得

k+b=78 2k+b=76

，
解得

k=-2 b=80

，
∴y與x之間的函數(shù)關系式為y=-2x+80．
故答案為y=-2x+80；

（2）設工廠生產(chǎn)x等級的護眼燈時，獲得的利潤為w元．
由題意，有w=[21+1（x-1）]y
=[21+1（x-1）]（-2x+80）
=-2（x-10）²+1800，
所以當x=10時，可獲得最大利潤1800元．
故若工廠將當日所生產(chǎn)的護眼燈全部售出，工廠應生產(chǎn)十級的護眼燈時，能獲得最大利潤，最大利潤是1800元．

點評：本題考查運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的應用，難度中等．（2）中生產(chǎn)等級提高時，帶來每臺護眼燈利潤的提高，同時銷售量下降，列函數(shù)關系式時，要注意這“一增一減”，這是本題的難點．