Question

【題目】將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖1擺放，點D為AB邊的中點，DE交AC于點P，DF經過點C，且BC=2.

（1）求證：△ADC∽△APD；

（2）求△APD的面積；

（3）如圖2，將△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜60°），此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，試判斷的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請求出的值；反之，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ;(3) 不會隨著α的變化而變化

【解析】

（1）先判斷出△BCD是等邊三角形，進而求出∠ADP=∠ACD，即可得出結論；
（2）求出PH，最后用三角形的面積公式即可得出結論；
（3）只要證明△DPM和△DCN相似，再根據相似三角形對應邊成比例即可證明．

（1）證明：∵△ABC是直角三角形，點D是AB的中點，

∴AD=BD=CD，

∵在△BCD中，BC=BD且∠B=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴∠ACD=90°－∠BCD=30°，

∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=30°，

在△ADC與△APD中，∠A=∠A，∠ACD=∠ADP，

∴△ADC∽△APD.

（2）由（1）已得△BCD是等邊三角形，∴BD=BC=AD=2，

過點P作PH⊥AD于點H，

∵∠ADP=30°=90°－∠B=∠A，

∴AH=DH=1， tanA=，

∴PH=.

∴△APD的面積=AD·PH=

（3）的值不會隨著α的變化而變化.

∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°，

在△MPD與△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，

∴△MPD∽△NCD，∴，

由（1）知AD=CD，∴，

由（2）可知PD=2AH，∴PD=，

∴．

∴的值不會隨著α的變化而變化.