Question

【題目】如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分別是AE，CD的中點。試探索BM和BN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】BM⊥BN．見解析

【解析】試題分析：根據(jù)SAS推出△ABE≌△DBC，推出AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，求出∠ABD=∠DBC=90°，BM=AM=EM=AE，BN=CN=DN=CD，推出∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC即可．

解：BM=BN，BM⊥BN，

理由是：在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，

∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，

∴∠ABD=∠DBC=90°，

∵M為AE的中點，N為CD的中點，

∴BM=AM=EM=AE，BN=CN=DN=CD，

∴BM=BN，∠EAB=∠MBA，∠CDB=∠DBN，∠AEB=∠EBM，∠NCB=∠NBC，

∵∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，

∴∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC，

∴∠ABC=2∠DBN+2∠EBM=180°，

∴∠EBN+∠EBM=90°，

∴BM⊥BN．