Question

如圖，△ABC的三邊BC＝17，CA＝18，AB＝19，過(guò)△ABC內(nèi)一點(diǎn)P向三邊作垂線，垂足分別為D、E、F，且BD＋CE＋AF＝27，求BD＋BF的長(zhǎng)度．

Answer 1

答案：
解析：

解：連結(jié)PA、PB、PC，則設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，AF＝z，則 　　DC＝17－x，EA＝18－y， 　　FB＝19－z． 　　在Rt△PBD中，BD2＋DP2＝PB2． 　　在Rt△PBF中，PF2＋BF2＝PB2． 　　∴BD2＋DP2＝PF2＋BF2． 　　即x2＋PD2＝(19－z)2＋PF2．①同理可得 　　y2＋PE2＝(17－x)2＋PD2．② 　　z2＋PF2＝(18－y)2＋PE2．③ 　　①＋②＋③，得 　　x2＋y2＋z2＝(17－x)2＋(18－y)2＋(19－z)2． 　　化簡(jiǎn)，得 　　17x＋18y＋19z＝487． 　　又∵x＋y＋z＝27， 　　∴x＝z－1． 　　∴BD＋BF＝x＋(19－z)＝18．

提示：

點(diǎn)悟：由PD、PE、PF分別垂直于三角形的三條邊可想到構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)得到邊與邊之間的關(guān)系．