Question

【題目】矩形ABCD中，AB=3，BC=4．點P在線段AB或線段AD上，點Q中線段BC上，沿直線PQ將矩形折疊，點B的對應點是點E．

（1）如圖1，點P、點E在線段AD上，點Q在線段BC上，連接BP、EQ．

①求證：四邊形PBQE是菱形．

②四邊形PBQE是菱形時，AP的取值范圍是　　．

（2）如圖2，點P在線段AB上，點Q在線段AD上，點E在線段AD上，若AE=，求折痕PQ的長．

（3）點P在線段AB，AP=2，點Q在線段BC上，連AE、CE．請直接寫出四邊形AECD的面積的最小值是　　．

Answer 1

【答案】（1）①見解析;②0≤AP≤ ；（ 2）；（3）7.5．

【解析】

（1）①先根據所給條件證明△POE≌△QOB，進而證明四邊形PEBQ是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形四邊形是菱形來證明四邊形PEBQ是菱形；②考慮AP最小值和最大值時P點的位置，當點P與點A重合時，AP最小，當點E和點D重合時，AP最大，由勾股定理求出最大值；（2）連接PE，EQ，過點Q作QF⊥AD于F，由折疊知，PB=PE，∠PEQ=∠B=90°，再設AP的長為x，根據勾股定理列方程求解，得到AP和PE的長，然后根據兩個角相等證明△APE∽△FEQ，進而求出EQ的值，再根據勾股定理求出PQ；（3）如圖3，連接AC，根據勾股定理求出AC的值，再連接PE，過點E作EG⊥AC于G，可得S四邊形AECD=S△ACD+S△ACE=6+EG，∴EG最小時，四邊形AECD的面積最小，確定EG最小時的情況，求出EG的最小值，即可得到四邊形AECD的最小值.

解（1）①由折疊知，PB=PE，PQ垂直平分BE，

∴OB=OE，

∵∠POE=∠BOQ，∠EPO=∠OQB，

∴△POE≌△QOB，

∴PE=BQ，

∵AD∥BC，

∴四邊形PBQE是平行四邊形，

∵PB=PE，

∴PBQE是菱形；

②當點P與點A重合時，AP=0，

當點E和點D重合時，DP=BP=4﹣AP，

在Rt△ABP中，BP2﹣AP2=AB2，

∴（4﹣AP）2﹣AP2=9，

∴AP=，

∴0≤AP≤，

故答案為：0≤AP≤；

（2）如圖2，連接PE，EQ，過點Q作QF⊥AD于F，

由折疊知，PB=PE，∠PEQ=∠B=90°，

設AP=x，

∴PB=PE=3﹣x，

根據勾股定理得，x2+5=（3﹣x）2，

∴x=，∴AP=，PE=，

∵∠AEP+∠PEQ=90°，∠AEP+∠APE=90°，

∴∠FEQ=∠APE，

∵∠EFQ=∠A=90°，

∴△APE∽△FEQ，

∴＝，

∴＝，

∴EQ=,

∴PQ==;

（3）如圖3，

連接AC，在Rt△ACD中，AD=4，CD=3，

∴AC=5，

連接PE，過點E作EG⊥AC于G，

∴S四邊形AECD=S△ACD+S△ACE

=ADCD+ACEG

=×4×3+×5EG

=6+EG，

∴EG最小時，四邊形AECD的面積最小，

由折疊知，PB=PE，

∴點E是以點P為圓心，PB=1為半徑的一段弧上，

∴點P，E，G在同一條線上時，EG最小，

∵∠AGP=∠ABC=90°，∠PAG=∠CAB，

∴△PAG∽△CAB，

∴＝，

∴PG= ==，

∴EG最小=PG﹣PE=﹣1=，

∴S四邊形AECD最小=6+EG最小=6+×=7.5，

故答案為：7.5．