Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：CE＝AD；

（2）當D在AB中點時．

①求證：四邊形BECD是菱形；
②當∠A為多少度時，四邊形BECD是正方形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形BECD是菱形，理由見解析；（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由見解析．

【解析】試題分析：(1)先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；(2)求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB=90°，再根據正方形的判定推出即可．

試題解析：(1)∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四邊形ADEC是平行四邊形， ∴CE=AD；

(2)四邊形BECD是菱形， 理由是：∵D為AB中點， ∴AD=BD， ∵CE=AD，

∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四邊形BECD是平行四邊形， ∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD， ∴四邊形BECD是菱形；

(3)當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°， ∴AC=BC， ∵D為BA中點， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．