Question

【題目】尺規作圖及探究：

已知：線段AB=a．

（1）完成尺規作圖：

點P在線段AB所在直線上方，PA=PB，且點P到AB的距離等于，連接PA，PB，在線段AB上找到一點Q使得QB=PB，連接PQ，并直接回答∠PQB的度數；

（2）若將（1）中的條件“點P到AB的距離等于”替換為“PB取得最大值”，其余所有條件都不變，此時點P的位置記為，點Q的位置記為，連接，并直接回答∠的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析，67.5；（2）60

【解析】

（1）作線段AB的垂直平分線DE，D為垂足，在射線DE上截取DP=，連接PA，PB即可解決問題．

（2）作等邊三角形P′AB即可解決問題．

解：（1）作圖見圖4．如圖，點P即為所求．

因為：點P到AB的距離等于，PA=PB

所以：為等腰直角三角形，∠PBA=45°

∵BP=BQ，， ∴∠PQB=∠BPQ=67.5°．

（2）作圖見圖4， 當P′B取得最大值時，△ABP′是等邊三角形，

所以是等邊三角形， ∴=60°．