Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）求證：BC2=2CD·OE；

（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）DE為⊙O的切線；證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線；

（2）證明OE是△ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明△ABC∽△BDC，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可證得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據三角形中位線定理OE的長即可求得．

試題分析：（1）連接OD，BD，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵E是BC的中點，O點是AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=ACCD．

∴BC2=2CDOE；

（3）∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，

又∵BE=6，E是BC的中點，即BC=12，

∴AC=15．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．