Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E．

(1) 求證：AC平分∠DAB；

(2) 連接BE交AC于點F，若cos∠CAD＝，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據切線的性質和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；

（2）連接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H，根據cos∠CAD==，設AD=4a，AC=5a，則DC=EH=HB=3a，根據cos∠CAB==，求出AB、BC，再根據勾股定理求出CH，由此即可解決問題；

試題解析：解：（1）連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB；

（2）連接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．∵AB是直徑，∴∠AEB =90°，∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，∴四邊形DEHC是矩形，∴∠EHC=90°，即OC⊥EB，∴DC=EH=HB，DE=HC，∵cos∠CAD==，設AD=4a，AC=5a，則DC=EH=HB=3a，∵cos∠CAB==，∴AB=a，BC=a，在RT△CHB中，CH==a，∴DE=CH=a，AE==a，∵EF∥CD，∴==．