Question

【題目】已知如圖，拋物線y＝ax2＋3ax＋c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A在點B左側，點B的坐標為(1，0)，C(0，－3)

(1) 求拋物線的解析式；

(2) 若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值.

(3) 若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）S△ACD的最大值為;(3)見解析.

【解析】

（1）將B、C的坐標代入拋物線中，求出待定系數的值，即可得出拋物線的解析式．

（2）根據A、C的坐標，易求得直線AC的解析式．由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大；過點D作DE∥y軸交AC于E，則E（m，﹣m﹣3），可得到當△ADC面積有最大值時，四邊形ABCD的面積最大值，然后列出四邊形的面積與m的函數關系式，利用配方法可求得此時m的取值范圍；

（3）本題應分情況討論：①過C作x軸的平行線，與拋物線的交點符合P點的要求，此時P、C的縱坐標相同，代入拋物線的解析式中即可求出P點坐標；②將AC平移，令C點落在x軸（即E點）、A點落在拋物線（即P點）上；可根據平行四邊形的性質，得出P點縱坐標（P、C縱坐標的絕對值相等），代入拋物線的解析式中即可求得P點坐標．

解：（1）將點B、C的坐標代入拋物線的解析式得：，

解得：a=，c=﹣3．

∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3

（2）令y=0，則x2+x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣4

∴A（﹣4，0）、B（1，0）

令x=0，則y=﹣3

∴C（0，﹣3）

∴S△ABC=×5×3=

設D（m，m2+m﹣3）

過點D作DE∥y軸交AC于E．直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，則E（m，﹣m﹣3）

DE=﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）=﹣（m+2）2+3

當m=﹣2時，DE有最大值為3

此時，S△ACD有最大值為×DE×4=2DE=6

∴四邊形ABCD的面積的最大值為6+=．

（3）如圖所示：

①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形，

∵C（0，﹣3）

∴設P1（x，﹣3）

∴x2+x﹣3=﹣3

解得x1=0，x2=﹣3

∴P1（﹣3，﹣3）；

②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，﹣3）

∴設P（x，3），

∴x2+x﹣3=3，

解得x=或x=，

∴P2（，3）或P3（，3）

綜上所述存在3個點符合題意，坐標分別是P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）．