Question

【題目】如圖，互相垂直的兩條射線OE與OF的端點O在三角板的內部，與三角板兩條直角邊的交點分別為點D、B．

（1）填空：若∠ABO=50°，則∠ADO=　　；

（2）若DC、BP分別是∠ADO、∠ABF的角平分線，如圖1．求證：DC⊥BP；

（3）若DC、BP分別分別是∠ADE、∠ABF的角平分線，如圖2．猜想DC與BP的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）130°；（2）證明見解析，（3）DC與BP互相平行．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由四邊形的內角和為360°即可得；

（2）如圖1，延長DC交BP于G，由∠OBA+∠ODA=180°、∠OBA+∠ABF=180°可得∠ODA=∠ABF，再由DC、BP分別是∠ADO、∠ABF的角平分線，從而可得∠CDA=∠CBG，再由∠DCA=∠BCG，繼而可得∠BGC=∠A=90°，即得DC⊥BP；

（3）DC與BP互相平行．如圖2，作過點A作AH∥BP，則可得∠ABP=∠BAH，由∠OBA+∠ODA=180°，可得∠ABF+∠ADE=180°，再由DC、BP分別分別是∠ADE、∠ABF的角平分線，從而可得∠ADC+∠ABP=90°，進而可得∠DAH=∠ADC，從而可得CD∥AH，最后得CD∥BP．

試題解析：（1）如圖1，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，

在四邊形OBAD中，∠A=∠BOD=90°，∠ABO=50°，

∴∠ADO=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°；

故答案為：130°；

（2）如圖1，延長DC交BP于G，

∵∠OBA+∠ODA=180°，而∠OBA+∠ABF=180°，∴∠ODA=∠ABF，

∵DC、BP分別是∠ADO、∠ABF的角平分線，∴∠CDA=∠CBG，

而∠DCA=∠BCG，∴∠BGC=∠A=90°，∴DC⊥BP；

（3）DC與BP互相平行．

理由：如圖2，作過點A作AH∥BP，則∠ABP=∠BAH，

∵∠OBA+∠ODA=180°，∴∠ABF+∠ADE=180°，

∵DC、BP分別分別是∠ADE、∠ABF的角平分線，∴∠ADC+∠ABP=90°，

∴∠ADC+∠BAH=90°，

而∠DAH+∠BAH=90°，∴∠DAH=∠ADC，∴CD∥AH，∴CD∥BP．