Question

如圖，扇形OAB的圓心角為90°，以OB為直徑的半圓O₁與半圓O₂外切，且⊙O₁與⊙O₂都與扇形弧相內切．
（1）求半圓O₁與半圓O₂的半徑比；
（2）若OB=12，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據兩圓外切兩圓連心線必過圓心，進而利用勾股定理得出兩圓半徑的關系；
（2）利用（1）中所求，進而得出兩圓的半徑，再利用扇形面積求出即可．

解答：解：（1）連接O₁O₂，設半圓O₁與半圓O₂的半徑分別為：x，y，
∵扇形OAB的圓心角為90°，以OB為直徑的半圓O₁與半圓O₂外切，且⊙O₁與⊙O₂都與扇形弧相內切，
∴OO₁=x，OO₂=2x-y，O₁O₂=x+y，
∴x²+（2x-y）²=（x+y）²，
整理得出：4x=6y，
∴

x

y

=

6

4

=

3

2

；

（2）∵OB=12，
∴O₁B=6，AO₂=4，
∴圖中陰影部分的面積為：S_扇形AOB-S_半圓O2-S_半圓O1=

90π×122

360

-

π×42

2

-

π×62

2

=10π．

點評：此題主要考查了相切兩圓的性質和扇形面積公式應用，得出兩圓的半徑是解題關鍵．