Question

【題目】（1）（發現）如圖1，在中，分別交于，交于．已知，，，求的值．

思考發現，過點作，交延長線于點，構造，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．

請回答：的值為______．

（2）（應用）如圖3，在四邊形中，，與不平行且，對角線，垂足為．若，，，求的長．

（3）（拓展）如圖4，已知平行四邊形和矩形，與交于點，，且，，判斷與的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）．

【解析】

（1）由DE//BC，EF//DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，求出DE=CF，DC=EF，由DC⊥BE，可得△BEF是直角三角形，利用勾股定理，求出BF的長即為BC+DE的值；

（2）同（1）做CE//DB，交AB延長線于點E，易證四邊形DBEC是平行四邊形，根據已知可證△DAB△CBA（SAS），得AC=DB，等量代換，可得AC=CE，故△ACE是等腰直角三角形，AE=8，利用勾股定理，即可求得AC；

（3）連接AE、CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等腰直角三角形，求出AC=CE，而DF=CE，即可得出答案．

解：（1）∵DE//BC，EF//DC，

∴四邊形DCFE是平行四邊形，

∴DE=CF，DC=EF，

∴BC+ED=BC+CF=BF，

∵DC⊥BE，DC//EF，

∴∠BEF=90°，在Rt△BEF中，

∵BE=5，EF=DC=3，

∴BF==．

故BC+DE=．

（2）做CE//DB，交AB延長線于點E，

由（1）同理，可證得四邊形DBEC是平行四邊形，BE=DC=3，

在△DAB和△CBA中 ，

∴△DAB△CBA（SAS），

∴DB=AC，

∵四邊形DBEC是平行四邊形，DB=CE，

∴AC=CE，

∵AC⊥DB，

∴AC⊥CE，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AE=AB+BE=AB+DC=5+3=8，

∴AC=，求得AC=．

故AC的長為．

（3）AC=DF；

證明：連接AE、CE，如圖，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//DC，

∵四邊形ABEF是矩形，

∴AB//FE，BF=AE，

∴DC//FE，

∴四邊形DCEF為平行四邊形，

∴CE=DF，

∵四邊形ABEF是矩形，

∴BF=AE，

∵BF=DF，

∴DF=CE，

∴AF=BE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，

在△FAD和△EBC中 ，

∴△FAD△EBC（SSS），

∴∠AFD=∠BEC，

∴∠FEB=∠EFA=90°，

∵∠EBF=60°，∠BFD=30°，

∴∠DFA=90°-30°-（90°-60°）=30°，

∴∠CEB=30°，

∴OE=OB，

∵∠EBF=60°，

∴∠BEA=∠EBF=60°，

∴∠AEC=60°+30°=90°，

即△AEC是等腰直角三角形，

∴AC=CE，

∵DF=CE，

∴AC=DF．

故AC與DF之間的數量關系是AC=DF．