Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C；拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)A．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．

①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)．試問(wèn)：線段PN的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．

Answer 1

【答案】（1）所求函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+2x+3；

（2）①線段PN的長(zhǎng)度的最大值為．

②或，

【解析】

試題（1）利用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸坐標(biāo)求法，得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式．

（2）利用二次函數(shù)最值求法不難求出，再利用三角形面積之間的關(guān)系，可求出等腰△BPC的面積

試題解析：（1）由于直線y=﹣x+3經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，

令y=0得x=3；令x=0，得y=3，

∴B（3，0），C（0，3），

∵點(diǎn)B、C在拋物線y=﹣x2+bx+c上，于是得，

解得b=2，c=3，

∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+2x+3；

（2）①∵點(diǎn)P（x，y）在拋物線y=﹣x2+2x+3上，

且PN⊥x軸，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），

同理可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，﹣x+3），

又點(diǎn)P在第一象限，

∴PN=PM﹣NM，

=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3），

=﹣x2+3x，

=—，

∴當(dāng)時(shí)，

線段PN的長(zhǎng)度的最大值為．

②解：

由題意知，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，

又由①知，OB=OC，

∴BC的中垂線同時(shí)也是∠BOC的平分線，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a），

又點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2+2x+3上，于是有a=﹣a2+2a+3，

∴a2﹣a﹣3=0，

解得，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或，

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)P在第一象限，

在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=，

OB=OC=3，

S△BPC=S四邊形BOCP﹣S△BOC=2S△BOP﹣S△BOC，

=，

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)P在第三象限，

則S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=，

=，