Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，AE是∠BAC的外角的平分線，CE⊥AE于點E． 求證：四邊形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】證明：∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，

∵AE是∠BAC的外角的平分線，

∴∠CAE=∠FAE= ∠FAC，

∵∠BAC+∠FAC=180°，

∴∠DAC+∠EAC= ×180°=90°，

即∠DAE=90°，

∵CE⊥AE，

∴∠AEC=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，

∴∠B+∠ACB=∠FAE+∠CAE，

∴∠FAE=∠B，

∴AE∥BC，

∴∠AEC+∠ECB=180°，

∴∠ECB=90°，

∴∠DAE=∠AEC=∠ECB=90°，

∴四邊形ADCE是矩形．

【解析】由角平分線定義得：∠BAD=∠CAD= ∠BAC和∠CAE=∠FAE= ∠FAC，則∠DAE=90°，再證明∠AEC=∠ECB=90°，由三個角是直角的四邊形是矩形得出結論．