Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，∠C=90°，OB=25，OC=20，若點M是邊OC上的一個動點（與點O、C不重合），過點M作MN∥OB交BC于點N．

（1）求點C的坐標；
（2）當△MCN的周長與四邊形OMNB的周長相等時，求CM的長；
（3）在OB上是否存在點Q，使得△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出此時MN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過C作CH⊥OB于H，

∵∠C=90°，OB=25，OC=20，

∴BC= = =15，

∵S△OBC= OBCH= OCBC，

∴CH= = =12，

∴OH= =16，

∴C（16，﹣12）

（2）

解：∵MN∥OB，

∴△CNM∽△COB，

∴ = = = ，

設CM=x，則CN= x，

∵△MCN的周長與四邊形OMNB的周長相等，

∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+ x+MN=20﹣x+mn+15﹣ x+25，

解得：x= ，

∴CM=

（3）

解：如圖2，

由（2）知，當CM=x，則CN= x，MN= x，

①當∠OMQ1=90°MN=MQ時，

∵△OMQ∽△OBC，

∴ = ，

∵MN=MQ，

∴ = ，

∴x= ，

∴MN= x= × = ；

②當∠MNQ2=90°，MN=NQ2時，

此時，四邊形MNQ2Q1是正方形，

∴NQ2=MQ1=MN，

∴MN= ．

【解析】（1）如圖1，過C作CH⊥OB于H，根據勾股定理得到BC= = =15，根據三角形的面積公式得到CH= = =12，由勾股定理得到OH= =16，于是得到結論；（2）∵根據相似三角形的性質得到 = = = ，設CM=x，則CN= x，根據已知條件列方程即可得到結論；（3）如圖2，由（2）知，當CM=x，則CN= x，MN= x，①當∠OMQ1=90°MN=MQ時，②當∠MNQ2=90°，MN=NQ2時，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的應用，需要了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能得出正確答案．