Question

8．是否存在素數p，使得方程x²-4p（x-p）-5p-1=0的兩根均為整數？若存在，求出p的所有可能值及方程的根；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 將原方程變現為一般式，根據方程有兩個整數根即可得出△=4×（5p+1）為完全平方數，設5p+1=n²，根據5p=n²-1=（n-1）（n+1），即可得出n-1、n+1中至少有一個是5的倍數，即n=5k±1（k為正整數），結合p為素數即可求出p、k的值，將p的值代入原方程，再解方程即可得出結論．

解答 解：原方程可變形為x²-4px+4p²-5p-1=0，
∵方程的兩根均為整數，
∴△=（-4p）²-4×（4p²-5p-1）=4×（5p+1）為完全平方數，
∴5p+1為完全平方數．
設5p+1=n²，
∵p為素數，
∴p≥2，
∴n≥4，且n為整數．
∵5p=n²-1=（n-1）（n+1），
∴n-1、n+1中至少有一個是5的倍數，即n=5k±1（k為正整數），
∴5p+1=25k²±10k+1，
∴p=k（5k±2）．
∵p為素數，5k±2＞1，
∴k=1，p=3或7．
當p=3時，原方程為x²-12x+20=0，
解得：x₁=2，x₂=10；
當p=7時，原方程為x²-28x+160=0
解得：x₁=8，x₂=20．

點評 本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，根據方程有兩個整數根得出△=4×（5p+1）為完全平方數是解題的關鍵．