Question

如圖①，在平面直角坐標系內，Rt△ABC≌Rt△FED，點C、D與原點O重合，點A、F在y軸上重合，∠B=∠E=30°，AC=FD=．△FED不動，△ABC沿直線BE以每秒1個單位的速度向右平移，直到點B與點E重合為止，設移動x秒后兩個三角形重疊部分的面積為s．

（1）求出圖①中點B的坐標；
（2）如圖②，當x=4秒時，點M坐標為（2，），求出過F、M、A三點的拋物線的解析式；此拋物線上有一動點P，以點P為圓心，以2為半徑的⊙P在運動過程中是否存在與y軸相切的情況？若存在，直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）求出整個運動過程中s與x的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）求圖①中點B的坐標，就需要求出線段BC的長，在Rt△ABC中，已知AC的長以及∠B的度數，由∠B的正弦函數即可求出BC的長；
（2）首先需要求點A的坐標，依題意，點A向右平移了4個單位，那么點A的坐標易知，而點F、M坐標已知，利用待定系數法確定拋物線的解析式；在求點P的坐標時，需要注意⊙P與y軸相切的條件，⊙P的半徑為2，那么點P的橫坐標必為±2，代入前面求得的拋物線解析式中，即可得到點P的坐標；
（3）此題需要分作兩個階段考慮：
①當點B在點O左側時，兩個三角形的重疊部分是五邊形，那么它的面積可由直角梯形的面積減去左上角的小三角形的面積求得；
②當點B運動到線段DE上時，兩個三角形的重疊部分是等腰三角形，BE的長易知，而BE邊上的高為×BE，則面積易得．
解答：解：（1）如圖①，在Rt△ABC中，AC=，∠B=30°；
∴BC=AC=3，即 B（-3，0）；

（2）如圖②，∵x=4，∴A（4，）；
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，依題意，有：
，
解得 ，
∴拋物線的解析式：y=x²-x+．
若半徑為2的⊙P與y軸相切，那么點P的橫坐標為2或-2；
當x=2時，y=x²-x+=；
當x=-2時，y=x²-x+=3；
∴存在符合條件的點P，且坐標為（2，）或（-2，3）；

（3）當點B、O重合時，x=3，所以整個過程可分作兩個階段：
①0≤x＜3時，如圖①；
BO=3-x，CD=x，OG=CH=BO=（3-x），FG=-（3-x）=x；
∴s=S_梯形FDCH-S_△FGM
=×（+-x）×x-×x×x
=-x²+x；
②3≤x≤6時，如圖②，BE=6-x；
s=S_△BME=×（6-x）×（×）=x²-x+3；
綜上，s=．
點評：此題主要考查了函數解析式的確定、解直角三角形、直線與圓的位置關系以及圖形面積的求法等綜合知識；最后一題中，要注意抓住圖形平移過程中的關鍵位置，據此來對函數進行分段，以便做到不重不漏．