Question

【題目】如圖1，有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P，點D落在G處，連接PC，交MN于點Q，連接CM．

（1）求證：四邊形CMPN是菱形；

（2）當P，A重合時，如圖2，求MN的長；

（3）設△PQM的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先利用矩形的性質得出PM∥CN，然后根據平行線的性質和折疊的性質得出PM＝CN，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形CMPN是平行四邊形，再根據NC＝NP即可證明結論；

（2）設BN＝x，則AN＝NC＝8－x，首先利用勾股定理求出x的值，進而求出NC的長度，然后利用勾股定理求出AC的長度，最后利用菱形的面積公式求解即可；

（3）根據菱形的對稱性可知S＝，只要找到菱形CMPN的面積的最大值和最小值即可，又因為S菱形CMPN＝CN·AB，所以只需找到CN的最大值和最小值即可，當點M與點D重合時，此時CN最短，當點P與點A重合時，CN最長，代入計算即可得出答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC．

由折疊的性質可知∠MNC＝∠PNM，NC＝NP，

∴∠PMN＝∠PNM．

∴PM＝PN．

∵NC＝NP，

∴PM＝CN．

∵MP∥CN，

∴四邊形CMPN是平行四邊形．

∵NC＝NP，

∴四邊形CMPN是菱形．

（2）當點P與點A重合時，設BN＝x，則AN＝NC＝8－x．

在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，

即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3．

∴CN＝8－3＝5．

∵四邊形CMPN是菱形，AC＝，

∴MN＝．

（3）∵四邊形CMPN是菱形，

∴S＝

∵S菱形CMPN＝CN·AB，

∴當點M與點D重合時，如圖，此時CN最短，菱形CMPN的面積最小，

∵，四邊形CMPN是菱形，

∴四邊形CMPN是正方形，

則S最小＝；

當點P與點A重合時，CN最長，菱形CMPN的面積最大，

則S最大＝×5×4＝5．

∴S的取值范圍是．