Question

【題目】在△ABC 中，∠ACB＝90，D、E 分別在 AC、AB 邊上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，點 F 恰好落在 BC 邊上，若△CFD 與△BFE 都是等腰三角形， 則∠BAC 的度數為_________．

Answer 1

【答案】45°或60°

【解析】

根據題意畫出圖形，設∠BAC的度數為x，則∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，

當△BFE 都是等腰三角形，分三種情況討論，即可求解.

∵∠ACB＝90，△CFD是等腰三角形，

∴∠CDF=∠CFD=45°，

設∠BAC的度數為x，

∴∠B=90°-x，

∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，點 F 恰好落在 BC 邊上，

∴∠DFE=∠BAC=x，

∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，

∵∠ADE=∠FDE，

∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，

∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，

∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，

∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，

∵△BFE 都是等腰三角形，分三種情況討論：

①當FE=FB時，如圖1，

則∠BEF=∠B，

∴90-x=2x-45，解得：x=45；

②當BF=BE時，

則∠EFB=∠BEF，

∴135-x=2x-45，

解得：x=60，

③當EB=EF時，如圖2，

則∠B=∠EFB，

∴135-x=90-x，無解，

∴這種情況不存在.

綜上所述：∠BAC 的度數為：45°或60°.

故答案是：45°或60°.

圖1 圖 2