Question

如圖，在直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（1，

3

），若把線段OA繞點O逆時針旋轉120°，可得線段OB．
（1）求點B的坐標；
（2）某二次函數的圖象經過A、O、B三點，求該函數的解析式；
（3）在第（2）小題所求函數圖象的對稱軸上，是否存在點P，使△OAP的周長最小，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點A的坐標易知∠AOx=60°，若將OA逆時針旋轉120°，點A的對應點B則正好落在x軸負半軸上，易求得OA的長，即可得到OB的長，從而求出點B的坐標．
（2）已知了函數圖象上三點的坐標，可利用待定系數法求得該拋物線的解析式．
（3）在△OAP中，OA的長是定值，若三角形的周長最小，那么AP+OP的值最小；由于O、B關于拋物線的對稱軸對稱，若連接AB，那么直線AB與拋物線對稱軸的交點即為所求的點P，易求得直線AB的解析式，聯立拋物線對稱軸，即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）作AC⊥x軸于C，
∵點A（1，

3

），即OC=1，AC=

3

，
∴∠AOC=60°，OA=2；（1分）
∴點B（-2，0）．（2分）

（2）∵拋物線經過點O（0，0），
∴可設所求解析式為y=ax²+bx．
把點A、B的坐標代入上式，得：

a+b= 3 4a-2b=0

，（3分）
解得a=

3

3

，b=

2 3

3

；
∴所求解析式為y=

3

3

x²+

2 3

3

x．（4分）

（3）存在，
∵點O和B關于拋物線y=

3

3

x²+

2 3

3

x的對稱軸直線x=-1對稱，
∴直線AB與直線x=-1的交點即為所求點P；（5分）
把點A（1，

3

）、B（-2，0）分別代入y=kx+b，
可求得直線AB的解析式為：y=

3

3

x+

2 3

3

，（6分）
令x=-1，得y=

3

3

；
∴點P（-1，

3

3

）．（7分）

點評：此題主要考查了圖形的旋轉變化、直角三角形的性質、二次函數解析式的確定、平面展開-最短路徑等知識，屬于基礎題，難度適中．