Question

15、證明：
（1）若n為整數，則（2n+1）²-（2n-1）²一定是8的倍數；
（2）若n為正整數時，n³-n的值必是6的倍數；
（3）四個連續自然數的積加1必為一完全平方數．

Answer 1

分析：（1）運用完全平方式展開后合并，可得含有8的式子，從而可得出結論；
（2）先將式子因式分解，然后討論三因式的奇偶性，從而可證得結論；
（3）先設出這四個自然數，先后表示出它們的積和1的和，從而化簡配方即可得出結論．

解答：證明：（1）∵（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
∵n為整數，∴8|8n．
即8|（2n+1）²-（2n-1）²命題得證；
（2）n³-n=n（n²-1）=（n-1）n（n+1）
∵n為正整數，（n+1）和n是連續2個自然數，必定一奇一偶，
所以，2|n（n+1）；而（n-1），n，（n+1）是連續3個整數，
必有一個是3的倍數，所以3|（n-1）n（n+1），
即6|（n-1）n（n+1）．命題得證．
（3）設這四個連續自然數依次為n-2，n-1，n，n+1，
其中n＞2且n為自然數，則依題意：
（n-2）（n-2）n（n+1）+1
=（n-2）（n+1）（n-1）n+1
=（n²-n-2）（n²-n）+1
=（n²-n）²-2（n²-n）+1
=（n²-n-1）²，
因為n為自然數，所以n²-n-1必為整數，即命題得證．

點評：本題考查數的整除性問題，比較經典，注意掌握證明整除的一般方法，即想辦法得到含有此因式的式子．