Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2，以點A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點E，交AB于點F

（1）求∠ABE的度數；

（2）用這個扇形AFED圍成一個圓錐的側面，所得圓錐的底面半徑是多少？

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）0.75.

【解析】連接AE，因為BC為圓A的切線，所以AE垂直于BC，所以三角形ABE為直角三角形，所以三角形ABE為等腰直角三角形，所以∠BAE為45°，因為∠AEB為直角，且AD平行于BC，所以∠DAE等于∠AEB等于90°，所以圓心角BAD等于45+90等于135°，弧FED的長等于乘以2π乘以2，等于1.5π，而扇形DAF為圓錐的側面，所以弧長為圓錐的底面圓的周長，所以半徑等于周長除以2π，所以半徑等于0.75．

解：（1）連接AE，如圖1，

∵AD為半徑的圓與BC相切于點E，

∴AE⊥BC，AE=AD=2．在Rt△AEB中，∵AB=2, AE =2,由勾股定理得AE=BE，

∴∠ABE=45°．
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
∴∠BAD45°+90°=135°，

∴扇形A-BFE的弧長==.

設所得圓錐的底半徑是r，

則2πr=，

∴r=0.75.

即：所得圓錐的底面半徑是0.75.

“點睛”此題考查了切線的性質、直角三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及弧長公式．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．