Question

【題目】（1）已知如圖1，在中，，，點在內部，點在外部，滿足，且．求證：．

（2）已知如圖2，在等邊內有一點，滿足，，，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）150°

【解析】

（1）先證∠ABD =∠CBE，根據SAS可證△ABD≌△CBE；

（2）把線段PC以點C為中心順時針旋轉60°到線段CQ處，連結AQ．根據旋轉性質得△PCQ是等邊三角形，根據等邊三角形性質證△BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根據勾股定理逆定理可得∠AQP=90°，進一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.

（1）證明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE

∴∠ABC=∠DBE=90°

即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE

∴∠ABD =∠CBE．

又∵AB=CB，BD=BE

∴△ABD≌△CBE（SAS）．

（2）如圖，把線段PC以點C為中心順時針旋轉60°到線段CQ處，連結AQ．

由旋轉知識可得：

∠PCQ =60°，CP=CQ=3，

∴△PCQ是等邊三角形，

∴CP=CQ=PQ=3．

又∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，

∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．

在△BCP與△ACQ中

∴△BCP≌△ACQ （SAS）

∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．

又∵PA=5，

∴．

∴∠AQP=90°

又∵△PCQ是等邊三角形，∴∠PQC=60°

∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°

∴∠BPC=150°．