Question

【題目】如圖，直線y＝－x＋分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，∠ACB＝90°,拋物線＝ax2＋bx＋經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M從作MH⊥BC于點(diǎn)H，作軸MD∥y軸交BC于點(diǎn)D，求DMH周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0）； (2) y＝－x2＋x＋ (3).

【解析】

試題(1)、根據(jù)直線的函數(shù)解析式求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)△AOC和△COB相似得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)、將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(3)、由題意知，△DMH為直角三角形，且∠M＝30°，當(dāng)MD取得最大值時(shí)，△DMH的周長(zhǎng)最大；設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用做差法得出MD的長(zhǎng)度，利用函數(shù)的性質(zhì)求出MD的最大值，從而根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)得出周長(zhǎng)的最大值．

試題解析：解： (1)∵直線y＝－x＋；分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)；

∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°， ∴∠CAO＝∠BCO，

∵∠AOC＝∠COB＝90°， ∴△AOC∽△COB， ∴.∴＝，∴AO＝1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0）．

(2)∵拋物線y＝ax2＋bx＋；經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，

∴，解得：， ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋；

(3)由題意知，△DMH為直角三角形，且∠M＝30°，當(dāng)MD取得最大值時(shí)，△DMH的周長(zhǎng)最大．

設(shè)M(x，－x2＋x＋)， D(x，－x＋)， 則MD＝(－x2＋x＋)－(－x＋)，

即：MD＝－x2＋x(0＜x＜3)， MD＝－ (x－)2＋，

∴當(dāng)x＝時(shí)，MD有最大值，

∴△DMH周長(zhǎng)的最大值為＋×＋×＝．