Question

（2012•黑河）如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x²-7x+12=0的兩根（OA＜OB），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點0運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設點P、Q運動的時間為t秒．
（1）求A、B兩點的坐標．
（2）求當t為何值時，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標．
（3）當t=2時，在坐標平面內，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的長度，從而得到A、B點的坐標；
（2）△APQ與△AOB相似時，存在兩種情況，需要分類討論，不要遺漏，如圖（2）所示；
（3）本問關鍵是找齊平行四邊形的各種位置與性質，如圖（3）所示．在求M₁，M₂坐標時，注意到M₁，M₂與Q點坐標的對應關系，則容易求解；在求M₃坐標時，可以利用全等三角形，得到線段之間關系．

解答：解：（1）解方程x²-7x+12=0，得x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．
∴A（0，3），B（4，0）．

（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．
△APQ與△AOB相似，可能有兩種情況：
（I）△APQ∽△AOB，如圖（2）a所示．
則有

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

3

=

5-2t

5

，解得t=

15

11

．
此時OP=OA-AP=

18

11

，PQ=AP•tanA=

20

11

，∴Q（

20

11

，

18

11

）；
（II）△APQ∽△ABO，如圖（2）b所示．
則有

AP

AB

=

AQ

AO

，即

t

5

=

5-2t

3

，解得t=

25

13

．
此時AQ=

15

13

，AH=AQ•cosA=

9

13

，HQ=AQ•sinA=

12

13

，OH=OA-AH=

30

13

，∴Q（

12

13

，

30

13

）．
綜上所述，當t=

15

11

秒或t=

25

13

秒時，△APQ與△AOB相似，所對應的Q點坐標分別為（

20

11

，

18

11

）或（

12

13

，

30

13

）．

（3）結論：存在．如圖（3）所示．
∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．
過Q點作QE⊥y軸于點E，則QE=AQ•sin∠QAP=

4

5

，AE=AQ•cos∠QAP=

3

5

，
∴OE=OA-AE=

12

5

，∴Q（

4

5

，

12

5

）．
∵?APQM₁，∴QM₁⊥x軸，且QM₁=AP=2，∴M₁（

4

5

，

2

5

）；
∵?APQM₂，∴QM₂⊥x軸，且QM₂=AP=2，∴M₂（

4

5

，

22

5

）；
如圖（3），過M₃點作M₃F⊥y軸于點F，
∵?AQPM₃，∴M₃P=AQ，∠QAE=∠M₃PF，∴∠PM₃F=∠AQE；
在△M₃PF與△QAE中，∵∠QAE=∠M₃PF，M₃P=AQ，∠PM₃F=∠AQE，
∴△M₃PF≌△QAE，
∴M₃F=QE=

4

5

，PF=AE=

3

5

，∴OF=OP+PF=

8

5

，∴M₃（-

4

5

，

8

5

）．
∴當t=2時，在坐標平面內，存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形．
點M的坐標為：M₁（

4

5

，

2

5

），M₂（

4

5

，

22

5

），M₃（-

4

5

，

8

5

）．

點評：本題是動點型壓軸題，綜合考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、解一元二次方程、平行四邊形等知識點．本題難點在于分類討論思想的應用，第（2）（3）問中，均涉及到多種情況，需要逐一分析不能遺漏；另外注意解答中求動點時刻t和點的坐標的過程中，全等三角形、相似三角形、三角函數等知識發揮了重要作用，這是解答壓軸題的常見技巧，需要熟練掌握．