Question

閱讀下面的文字，回答后面的問題．
求3+3²+3³+…+3¹⁰⁰的值．
解：令S=3+3²+3³+…+3¹⁰⁰（1），將等式兩邊提示乘以3得到：3S=3²+3³+3⁴+…+3¹⁰¹（2），（2）-（1）得到：2S=3¹⁰¹-3
∴S=

3101-3

2

問題（1）求2+2²+…+2¹⁰⁰的值；
（2）求4+12+36+…+4×3⁴⁰的值；
（3）如圖，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第二個正方形AEGH，如此下去…一直作圖到第10個圖形為止．已知正方形ABCD的邊長為1，求所有的正方形的所有邊長之和．

Answer 1

分析：（1）根據題中所給的S的表達式及同底數冪的乘法法則求出2S的表達式，再把兩式相減即可求出S的值；
（2）先求出3+3²+3³+…+3⁴⁰的值，再乘以4即可求出4+12+36+…+4×3⁴⁰的值；
（3）由題意可知一直作圖到第10個圖形為止的所有的正方形的所有邊長之和即為求4×[1+

2

+（

2

）²+…+（

2

）⁹]的值，令S=1+

2

+（

2

）²+…+（

2

）⁹，根據同底數冪的乘法法則求出

2

S的表達式，再把兩式相減即可求出S的值，從而所有的正方形的所有邊長之和．

解答：解：（1）∵S=2+2²+…+2¹⁰⁰①，
∴2S=2²+2³+…+2¹⁰¹②，
由②-①：S=2¹⁰¹-2；

（2）令S=1+3+3²+3³+…+3⁴⁰①，將等式兩邊提示乘以3得到：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3⁴¹②，
②-①得到：2S=3⁴¹-1，
∴S=

341-1

2

．
∴4+12+36+…+4×3⁴⁰=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰）=2（3⁴¹-1）；

（3）所有的正方形的所有邊長之和為4×[1+

2

+（

2

）²+…+（

2

）⁹]，
令S=1+

2

+（

2

）²+…+（

2

）⁹①、

2

S=

2

+（

2

）²+…+（

2

）¹⁰②，
②-①得到：（

2

-1）S=32-1=31，S=31×（

2

+1）．
故所有的正方形的所有邊長之和為4×31×（

2

+1）=124

2

+124．

點評：本題考查的是有理數的乘方及同底數冪的乘法法則，根據題意求出乘以底數后和的表達式是解答此題的關鍵．