Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2﹣EA2＝AC2．

（1）求證：∠A＝90°；

（2）若AB＝8，BC＝10，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】

（1）連接CE，根據勾股定理的逆定理即可證出△ACE是直角三角形且∠A＝90°；

（2）先根據勾股定理求出AC，然后再利用勾股定理列方程即可求出AE的長.

（1）證明：連接CE，如圖，

∵D是BC的中點，DE⊥BC，

∴CE＝BE，

∵BE2﹣EA2＝AC2，

∴CE2﹣EA2＝AC2，

∴EA2+AC2＝CE2，

∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；

（2）解：∵AB＝8，BC＝10，

∴AC＝＝6，設AE＝x，

在Rt△AEC中，62+x2＝（8﹣x）2，

∴x＝，

∴AE的長為．