Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B（0，4），動點C在以半徑為2的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D，連接AB．

（1）若點C在第二象限的⊙O上運動，當OC∥AB時，∠BOC的度數為　　；

（2）若點C在整個⊙O上運動，當點C運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值；

（3）若點C在第一、二象限的⊙O上運動，連接AD，當OC∥AD時，

①求出點C的坐標；

②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）4+8；（3）①點C在第一象限時，C（，1）；②直線BC是⊙O的切線.

【解析】

(1) 根據題意可得△OAB為等腰直角三角形,所以∠ABO=∠BAO=

(2)由三角形面積公式可得當點C運動到第三象限的角平分線與⊙ 0的交點位置時,點C與AB的距離為最大值, 即△ABC的面積最大,由勾股定理可得AB的長,根據直角三角形中線定理可得OE=5AB, 再由三角形面積公式計算即可．

(3)1由平行線的性質和相似三角形的判定可得△C'OF~△ODA,由相似三角形的性質可得,再由勾股定理可得OF的長，即可求得點C'的坐標．

2(2)根據題意由SAS證明△BOC≌△AOD，∠BCO=∠ADO=90°，得直線BC是⊙O的切線.

解：（1）∵點A（4，0），點B（0，4），

∴OA=OB=4，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴∠BOC=∠OBA=45°，

故答案為45°．

（2）

當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，

如圖1，過點O作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O

于C'，此時，點C'到AB的距離最大，最大值為C'E的長，

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴AB=OA=4，

∴OE=AB=2，

∴CE=OC'+OE=2+2，

∴△ABC的面積為C'E×AB=4+8，

即：當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與⊙O的交點的位置時，

△ABC的面積最大，最大值為4+8；

（3）①如圖2，

當點C為位于第二象限時，

過點C作CF⊥x軸于F，

∵OD⊥OC，OC∥OD，∴

∠ADO=∠COD=90°，

∴∠DOA+∠DAO=90°，

∵∠DOA+∠COF=90°，

∴∠COF=∠DAO，

∴△OCF∽△AOD，

∴，

∴，

∴CF=1，

在Rt△OCF中，根據勾股定理得，OF=，

∴C（﹣，1），

同理：點C在第一象限時，C（，1）；

②直線BC是⊙O的切線，

理由：當點C在第二象限時，

在Rt△OCF中，OC=2，CF=1，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，

∴∠AOD=60°，

在△BOC和△AOD中，，

∴△BOC≌△AOD，

∴∠BCO=∠ADO=90°，

∴OC⊥BC，

∴直線BC為⊙O的切線；

同理：當點C在第一象限時，直線BC為⊙O的切線，

即：當OC∥AD時，直線BC是⊙O的切線．