Question

【題目】如圖，已知直線與二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A、O，(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，OA=，AP的中點(diǎn)為B．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求線段OB的長；

（3）若射線OB上存在點(diǎn)Q，使得△AOQ與△AOP相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】；（2）； (3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)時(shí)，△AOQ與△AOP相似.

【解析】

（1）由點(diǎn)A在直線y=x上，可知A的橫縱坐標(biāo)相等，又因?yàn)?/span>OA=

，所以可以求出A的坐標(biāo)，再把O和A的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，求出b和c的值即可求出函數(shù)的解析式；
（2）用配方法求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出OP的長和AP的長，利用勾股定理的逆定理即可判定三角形AOP的形狀，進(jìn)而求出OB的長；
（3）若△AOQ與△AOP相似，則①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出滿足題意的OQ值即可．

（1）∵點(diǎn)A在直線上，且，∴A(3,3) .

∵ 點(diǎn)O(0,0)，A(3,3)在的圖像上，

∴ ，解得： 。∴二次函數(shù)的解析式為.

（2）由題意得頂點(diǎn)P(1,-1)。∴

∴，∴∠AOP=90°.

∵∠AOP=90°，B為AP的中點(diǎn) ，∴.

(3) ∵∠AOP=90°，B為AP的中點(diǎn) ，∴OB=AB .∴∠AOB=∠OAB.

若△AOQ與△AOP相似，，則①△AOP∽△OQA ，

∴，∴.

②△AOP∽△OAQ ，∴ .

∵B(2,1) ∴.

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)時(shí)，△AOQ與△AOP相似.