Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+9-b²（b為常數）經過坐標原點O，且與x軸交于另一點E．其頂點M在第一象限．
（1）求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）設點A是該拋物線上位于x軸上方，且在其對稱軸左側的一個動點；過點A作x軸的平行線交該拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DE⊥x軸于點C．
①當線段AB、BC的長都是整數個單位長度時，求矩形ABCD的周長；
②求矩形ABCD的周長的最大值，并寫出此時點A的坐標；
③當矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積是否也同時取得最大值？請判斷并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過原點，代入求得b值而求出二次函數解析式；
（2）設A點橫坐標為m，則

3

2

＞m＞0，AB=3m-m²，BC=3-2m，矩形ABCD的周長=-2m²+2m+6．
①根據線段AB、BC的長都是整數個單位長度及

3

2

＞m＞0，確定m的值，從而求出矩形ABCD的周長；
②將-2m²+2m+6配方，根據二次函數的性質，得出矩形ABCD的周長的最大值，并求出此時點A的坐標；
③將矩形ABCD的周長取得最大值時的m的值代入它的面積表達式AB•BC=（3m-m²）（3-2m）中，計算出其值為2.5，然后在

3

2

＞m＞0的范圍內找到一個m=

3

4

時，矩形ABCD的面積=2.53125＞

5

2

，從而得到當矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積不能同時取得最大值．

解答：解：（1）由題意，代入原點到二次函數解析式
則9-b²=0，
解得b=±3，
由題意拋物線的對稱軸大于0，

b

2

＞0，
所以b=3，
所以解析式為y=-x²+3x；

（2）設A點橫坐標為m，則

3

2

＞m＞0，
AB=3m-m²，BC=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形ABCD的周長=2（AB+BC）=2（-m²+m+3）=-2m²+2m+6．
①當線段AB、BC的長都是整數個單位長度時，則
3m-m²＞0且為整數，3-2m＞0且為整數，
∴m=1．
∴矩形ABCD的周長=-2m²+2m+6=6；
②∵矩形ABCD的周長=-2m²+2m+6=-2（m²-m）+6=-2（m²-m+

1

4

-

1

4

）+6=-2（m-

1

2

）²+

13

2

，
∴當m=

1

2

時，有最大值=

13

2

，
此時點A的坐標為（

1

2

，

5

4

）；
③當矩形ABCD的周長取得最大值時，m=

1

2

，
此時，矩形ABCD的面積=AB•BC=（3m-m²）（3-2m）=

5

2

，不是最大值．
∵當m=

3

4

時，矩形ABCD的面積=（3m-m²）（3-2m）=1.6875×1.5=2.53125＞

5

2

．
∴當矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積不能同時取得最大值．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．