Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），E是AC上一個動點，始終保持∠ADE=∠B，則當△DCE為直角三角形時，BD的長為 ．

Answer 1

【答案】4或
【解析】解：分兩種情況：

①當∠DEC=90°時，△DCE為直角三角形，如圖1，

∴∠AED=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠ADE=∠B，

∴∠ADE=∠C，

∵∠DAE=∠DAC，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∴AD⊥BC，

∴BD= BC= ×8=4；

②當∠EDC=90°時，△DCE為直角三角形，如圖2，

過A作AF⊥BC于F，則BF=4，

∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，

∠ADE=∠B，

∴∠EDC=∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠BFA=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BFA∽△BAD，

∴ ，

∵AB=5，

∴ ，

∴BD= ，

綜上所述，BD為4或 ，

所以答案是：4或 ．

【考點精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．