Question

【題目】問題再現：

數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．

例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．

證明：將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1：

這個圖形的面積可以表示成：

（a+b）2或　a2+2ab+b2

∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2

這就驗證了兩數和的完全平方公式．

類比解決：

（1）請你類比上述方法，利用圖形的幾何意義證明平方差公式．（要求畫出圖形并寫出推理過程）

問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：13+23＝32？

如圖2，A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1＝13

B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：13+23＝（1+2）2＝32

嘗試解決：

（2）請你類比上述推導過程，利用圖形的幾何意義確定：13+23+33＝　 　．（要求寫出結論并構造圖形寫出推證過程）．

（3）問題拓廣：

請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　．（直接寫出結論即可，不必寫出解題過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）62，推證過程見解析；（3）[n（n+1）]2

【解析】

（1）類比解決：如圖：邊長為a，b的兩個正方形，邊保持平行，從大正方形中剪去小正方形，剩下的圖形可以分割成2個長方形并拼成一個大長方形．根據第一個圖形的陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的陰影部分的面積是（a+b）（a﹣b），可以驗證平方差公式；

（2）嘗試解決：如圖，A表示一個1×1的正方形，B、C、D表示2個2×2的正方形，E、F、G表示3個3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一個邊長為（1+2+3）的大正方形，根據大正方形面積的兩種表示方法，可以得出13+23+33＝62；

（3）問題拓廣：由上面表示幾何圖形的面積探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，進一步化簡即可．

（1）∵如圖，左圖的陰影部分的面積是a2﹣b2，

右圖的陰影部分的面積是（a+b）（a﹣b），

∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

這就驗證了平方差公式；

（2）如圖，A表示1個1×1的正方形，即1×1×1＝13；

B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，

因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2＝23；

G與H，E與F和I可以表示3個3×3的正方形，即3×3×3＝33；

而整個圖形恰好可以拼成一個（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，

由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；

故答案為：62；

（3）由上面表示幾何圖形的面積探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，

又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），

∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．

故答案為：[n（n+1）]2．