【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）求∠CPE的度數；
（2）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=120°時，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）90°；（2）AP=CE．理由參見解析.
【解析】
試題分析：（1）先證出△ABP≌△CBP，根據全等三角形的性質得到∠BAP=∠BCP，進而得∠DAP=∠DCP，由PA=PE，得到∠DAP=∠E，于是∠DCP=∠E，又因為∠PFC=∠DFE，所以∠CPF=∠EDF=90°，從而得到結論；（2）根據菱形的性質得到AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，根據全等三角形的性質得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，根據等量減等量差相等和等腰三角形的性質得到∠DAP=∠DCP，∠DAP=∠AEP，等量代換得到∠DCP=∠AEP，∠EPC=∠EDC=60°，PE=PC=PA,推出△EPC是等邊三角形，即可得到結論．
試題解析：（1）先證出△ABP≌△CBP，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，
，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（2）根據題意，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，
，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，又∵PA=PE，∴PC=PE，∵PA=PE，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP，∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等邊三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．
閱讀快車系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中，真命題是（ ）
A. 相等的圓心角所對的弧相等
B. 面積相等的兩個圓是等圓
C. 三角形的內心到各頂點的距離相等
D. 長度相等的弧是等弧
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展與應用：如圖3，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點
互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀．
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